القوى المطبقة على الجسم في حالة السقوط

كل جسم كتلته m يتحرك في مائع يخضع ل3 قوى:

قوة الثقل

قيمتها p=mg حيث g الجاذبية الأرضية. تكون هذه القوة شاقولية متجهة نحو الأسفل

دافعة أرخميدس $\vec{\pi}$

هي قوة شاقولية متجهة نحو الأعلى قيمتها $\pi=\rho_f\times V\times g$

$\rho_f$: الكتلة الحجمية للمائع

V: حجم المائع المزاح يساوي حجم الجسم المدروس ب: $m^3$

g: الجاذبية الأرضية ب: $m/s^2$

قوة الإحتكاك مع المائع

هي قوة شاقولية معاكسة لجهة الحركة قيمتها $f=k\times v$ في حالة السرعات الصغيرة و $f=k\times v^2$ في حالة السرعات الكبيرة حيث: k ثابت يتعلق بطبيعة المائع و أبعاد الجسم

المعادلة التفاضلية

بتطبيق القانون الثاني لنيوتن على الجسم الساقط نجد

حالة السرعات الصغيرة

$\begin{aligned} \sum{\vec{F}_{ext}}&=m\vec{a}\\ \vec{p}+\vec{\pi}+\vec{f}&=m\vec{a}\\ &بعد\,الإسقاط\,على\,المحور\,نجد:\\ p-\pi-f&=ma\\ mg-\rho_f\times V\times g-kv&=m\frac{dv}{dt}\\ \frac{dv}{dt}&=g-\frac{\rho_f\times V\times g}{m}-\frac{k\times v}{m}\\ \frac{dv}{dt}+\frac{k\times v}{m}&=g(1-\frac{\rho_f\times V}{m})\\ \end{aligned}$

السرعة الحدية

$V_L=\frac{mg}{k}(1-\frac{\rho_f\times V}{m})$

حالة السرعات الكبيرة

$\frac{dv}{dt}+\frac{k\times v^2}{m}=g(1-\frac{\rho_f\times V}{m})$

السرعة الحدية

$V_L=\sqrt{\frac{mg}{k}(1-\frac{\rho_f\times V}{m})}$